Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x²-2x+1的頂點為P，A為拋物線與y軸的交點，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B，與拋物線對稱軸交于點O′，過點B和P的直線l交y軸于點C，連接O′C，將△ACO′沿O′C翻折后，點A落在點D的位置．
（1）求直線l的函數(shù)解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）配方，得y=

1

2

（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點為P（2，-1）．（1分）
取x=0代入y=

1

2

x²-2x+1，
得y=1，
∴點A的坐標是（0，1）．
由拋物線的對稱性知，點A（0，1）與點B關于直線x=2對稱，
∴點B的坐標是（4，1）．（2分）
設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），將B、P的坐標代入，
有

1=4k+b -1=2k+b

，
解得

k=1 b=-3

∴
∴直線l的解析式為y=x-3．（3分）

（2）連接AD交O′C于點E，
∵點D由點A沿O′C翻折后得到，
∴O′C垂直平分AD．
由（1）知，點C的坐標為（0，-3），
∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
∴O′C=2

5

．
據(jù)面積關系，有

1

2

×O′C×AE=

1

2

×O′A×CA，
∴AE=

4

5

5

，AD=2AE=

8

5

5

．
作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽Rt△CO′A，
∴

AF

AC

=

DF

O′A

=

AD

O′C

，
∴AF=

AD

O′C

•AC=

16

5

，DF=

AD

O′C

•O′A=

8

5

，（5分）
又∵OA=1，
∴點D的縱坐標為1-

8

5

=-

3

5

，
∴點D的坐標為（

16

5

，-

3

5

）．（6分）

（3）顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點，
∴點P是線段BC的中點，
∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．（7分）
過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點與CD構成的三角形的面積都等于S_△DPC，
故m與拋物線的交點即符合條件的Q點．
容易求得過點C（0，-3）、D（

16

5

，-

3

5

）的直線的解析式為y=

3

4

x-3，
據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=

3

4

x-

5

2

．
令

1

2

x²-2x+1=

3

4

x-

5

2

，
解得x₁=2，x₂=

7

2

，
代入y=

3

4

x-

5

2

，得y₁=-1，y₂=

1

8

，
因此，拋物線上存在兩點Q₁（2，-1）（即點P）和Q₂（

7

2

，

1

8

），使得S_△DQC=S_△DPB．（9分）
（僅求出一個符合條件的點Q的坐標，扣1分）