Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=4，DC=4

2

，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)（與B、C不重合），設(shè)PC=x，四邊形ABPD的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若以D為圓心、1為半徑作⊙D，以P為圓心、以PC的長(zhǎng)為半徑作⊙P，當(dāng)x為何值時(shí)，⊙D與⊙P相切？并求出這兩圓相切時(shí)四邊形ABPD的面積．

Answer 1

作DE⊥BC于E，
∴∠BED=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°
∵AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴四邊形ABED是矩形．
∴AD=BE，AB=DE，
∵AD=2，AB=4，
∴BE=2，DE=4，
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC=

DC2-DE2

=

32-16

=4，
∴BC=6，
∵PC=x，
∴BP=6-x，
y=

1

2

×4×（2+6-x）
=-2x+16．
∵P點(diǎn)與B、C不重合，
∴0＜x＜6．
（2）①設(shè)PC=a，
∵⊙D與⊙P相切，且⊙D的半徑為1，
∴PD=a+1，PE=4-a．
在Rt△EPD中由勾股定理，得
16+（4-a）²=（a+1）²
解得：a=3.1．
即PC=3.1時(shí)⊙D與⊙P相切．
此時(shí)S_{四邊形ABPD}=[2+（6-3.1）]×4×

1

2

，
=9.8

②設(shè)PC=b，
∵⊙D與⊙P相切，且⊙D的半徑為1，
∴PD=b-1，PF=b-4，DF=4，
在Rt△EPD中由勾股定理，得
（b-1）²=（b-4）²+16
解得：b=

31

6

．
即PC=

31

6

時(shí)⊙D與⊙P相切．
此時(shí)S_{四邊形ABPD}=

1

2

[2+（6-

31

6

）]×4=

17

3

．