Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于點D，在線段AD上任取一點P（點A除外），過點P作EF∥AB，分別交AC，BC于點E和點F，作PQ∥AC，交AB于點Q，連接QE．
（1）求證：四邊形AEPQ為菱形；
（2）當點P在何處時，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF∥AB，PQ∥AC，

∴四邊形AEPQ為平行四邊形，

∴∠BAD=∠EPA，

∵AB=AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∴∠CAD=∠EPA，

∴EA=EP，

∴四邊形AEPQ為菱形．

（2）解：P為EF中點時，S菱形AEPQ= S四邊形EFBQ

∵四邊形AEPQ為菱形，

∴AD⊥EQ，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴EQ∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四邊形EFBQ為平行四邊形．

作EN⊥AB于N，如圖所示：

則S菱形AEPQ=EPEN= EFEN= S四邊形EFBQ．

【解析】（1）先證出四邊形AEPQ為平行四邊形，關鍵是找一組鄰邊相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可證∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出結論；（2）S菱形AEPQ=EPh，S平行四邊形EFBQ=EFh，若菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半，則EP= EF，因此P為EF中點時，S菱形AEPQ= S四邊形EFBQ ．