Question

【題目】如圖，有長為24m的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃，且花圃的長可借用一段墻體(墻體的最大可用長度a＝10m)．

(1)如果所圍成的花圃的面積為45m2，試求寬AB的長；

(2)按題目的設(shè)計(jì)要求，能圍成面積比45m2更大的花圃嗎?如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB長為5米（2）最大面積為

【解析】試題分析：

（1）由題意可知圍成該花圃需要用到籬笆的寬有三條，而長只有一條，設(shè)寬AB的長為xm，則長BC為（24-3x）m，再設(shè)長方形面積為y，由矩形面積公式可得：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，由y=45解得對應(yīng)的x的值，可得答案；

（2）把（1）中所得解析式配方化為頂點(diǎn)式，然后結(jié)合自變量的取值范圍可求得y的最大值，把最大值與45比較可得結(jié)論，并進(jìn)一步可由自變量的取值范圍和解析式求得最大面積；

試題解析：

(1)設(shè)花圃的寬AB＝x米，知BC應(yīng)為(24－3x)米，故面積y與x的關(guān)系式為

y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．

當(dāng)y＝45時(shí)，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．

當(dāng)x2＝3時(shí)，BC＝24－3×3＞10，不合題意，舍去；

當(dāng)x2＝5時(shí)，BC＝24－3×5＝9，符合題意．

故AB長為5米．

(2)能圍成面積比45m2更大的矩形花圃．

由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，

∵，∴ ，

由拋物線y＝－3(x－4)2＋48知，在對稱軸x=4的右側(cè)，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)時(shí)，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值為此時(shí)， BC＝10m，即圍成長為10米，寬為米的矩形ABCD花圃時(shí)，其最大面積為