Question

如圖1，將邊長(zhǎng)為2cm的兩個(gè)互相重合的正方形紙片按住其中一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，若使重疊部分的面積為

4 3

3

cm²，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為

 

度．
如圖2，將上述兩個(gè)互相重合的正方形紙片沿對(duì)角線AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一個(gè)等腰直角三角形沿AC移動(dòng)，若重疊部分△A′PC的面積是1cm²，則它移動(dòng)的距離AA′等于

 

cm．

Answer 1

分析：（1）設(shè)CD與A′D′交于點(diǎn)G，連接BG，易得BG為ABCG的對(duì)稱軸；故S_△BCG=

2 3

3

；則CG=

2 3

3

；易得∠GBC=30度．故這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為30°．
（2）平移中，得到的是相似三角形，若重疊部分△A′PC的面積是1cm²，則A′C=2cm；則AA′=（2

2

-2）cm．

解答：解：（1）設(shè)CD與A′D′交于點(diǎn)G，連接BG．
在△A′BG與△CBG中，
∵∠A′=∠C=90°，BG=BG，A′B=CB，
∴△A′BG≌△CBG．
∴BG為四邊形A′BCG的對(duì)稱軸．
∴S_△BCG=

1

2

S_{四邊形A′BCG}=

2 3

3

，
又∵BC=2，
∴CG=

2 3

3

．
∴tan∠GBC=

3

3

，
∴∠GBC=30°，
∴∠A′BC=2∠GBC=60°．
∴∠CBC′=30°，
故這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為，30°．

（2）∵△A′PC∽△ABC，
∴

三角形A′PC的面積

三角形ABC的面積

=(

A′C

AC

)2，
又∵三角形ABC的面積=

1

2

×2×2=2cm²，△A′PC的面積是1cm²，AC=2

2

cm，
∴A′C=2cm，
∴AA′=AC-A′C=（2

2

-2）cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段都相等．