Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰三角形，AB=AC，將△AOC沿直線AC折疊，點O落在直線AD上的點E處，直線AD的解析式為y=-

3

4

x+6，則
（1）AO=

6

；AD=

10

；OC=

3

；
（2）動點P以每秒1個單位的速度從點B出發(fā)，沿著x軸正方向勻速運動，點Q是射線CE上的點，且∠PAQ=∠BAC，設(shè)P運動時間為t秒，求△POQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，直線CE上是否存在一點Q，使以點Q、A、D、P為頂點的四邊形是平等四邊形？若存在，求出t值及Q點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)A、D是直線y=-

3

4

x+6上的點求出A、D兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AD的長，由圖形反折變換的性質(zhì)得出AE=AO=6，CE⊥AD，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CED，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CD的長，進而得出OC的長；
（2）此題應(yīng)注意運用全等三角形來求解；由已知條件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（兩個等角減去或加上一個同角），從而證得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以O(shè)P為底、CE•sin∠ECD為高即可求得△POQ的面積表達式，由此求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；需要注意的是，在表示OP長時，要分兩種情況：
①點P在線段OB上，②點P在x軸正半軸上．
（3）此題按兩種情況考慮即可：①以AD為邊，②以AD為對角線；可運用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合直線CE的解析式來求解．

解答：解：（1）∵A、D是直線y=-

3

4

x+6上的點，
∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD=

AO2+OD2

=

62+82

=10，
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD∽△CED，
∴

AD

CD

=

OD

ED

，

10

CD

=

8

4

，解得CD=5，
∴OC=OD-CD=8-5=3．

（2）當(dāng)P在線段BO上時，即0＜t＜3時；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面積為：S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（3-t）×

4

5

t，即S=-

2

5

t²+

6

5

t；
當(dāng)P在x軸正半軸上時，即t＞3時；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（t-3）×

4

5

t，
即S=

2

5

t²-

6

5

t；
綜上可知：S=

- 2 5 t2+ 6 5 t(0＜t＜3) 2 5 t2- 6 5 t(t＞3)

；

（3）分兩種情況：
①0＜t＜3時，顯然不存在以AD為邊的情況，那么只考慮以AD為對角線的情況；
此時P（t-3，0），取易知AD的中點為：（4，3）；
∵平行四邊形中，以AD、PQ為對角線，
∴AD的中點也是PQ的中點；
∴Q（11-t，6）；
∵直線CE：y=

4

3

x-4，代入Q點坐標(biāo)得：

4

3

（11-t）-4=6，解得t=

7

2

；即BP=CQ=

7

2

，
∴Q（

3

2

×

3

5

+3，

3

2

×

4

5

），即Q（

51

10

，

14

5

）；
②t＞3時，顯然不存在以AD為對角線的情況，那么只考慮以AD為邊的情況；
此時PF∥DP，即F點縱坐標(biāo)為6，由①得，此時F（

15

2

，6）；
即DP=AF=

15

2

，BP=BD+DP=11+

15

2

=

37

2

，即t=

37

2

；
此時CQ=BP=

37

2

，同①可求得：Q（

141

10

，

74

5

）．
綜上可知：存在符合條件的F點，此時的t值和Q點坐標(biāo)分別為：t=

3

2

，Q（

51

10

，

14

5

）或t=

37

2

，Q（

141

10

，

74

5

）．
故答案為：10，6，3．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到圖形的翻折變換、一次函數(shù)解析式的確定、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、以及平行四邊形的判定等知識，同時考查了分類討論數(shù)學(xué)思想的引用，難度較大．