Question

如圖所示，E是邊長為12的正方形ABCD中CD上任意一點，以點A為中心，將△ADE順時針旋轉90°至△ABF的位置，設DE=t
（1）用含t的代數式表示：△ABF的面積為S₁，△CEF的面積為S₂和△AEF的面積為S；
（2）求證：①S₃＞S₂ ，②S₃≥2S₁；
（3）若CE、DE的長度是關于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的兩個實數根，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的邊長為12，DE=t，分別表示出BF、FC、EC的長，再根據三角形的面積公式

底×高

2

列出算式即可；
（2）根據（1）求出的S₃、S₂、S₁的結果，分別代入S₃-S₂和S₃-2S₁，然后判斷出S₃-S₂和S₃-2S₁的符號，即可得出答案；
（3）根據CE、DE的長度是關于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的兩個實數根，再根據根與系數的關系，求出CE+DE=m，再根據CE+DE=CD=12，求出m=12，再把m=12代入原方程，求出x的值，最后根據勾股定理即可求出AF的值．

解答：解：（1）∵邊長為12的正方形ABCD，DE=t，
∴△ABF的面積為S₁=

1

2

AD•DE=

1

2

×12•t=6t，
∵△ABF是△ADE順時針旋得到的，
∴BF=DE=t，
∴△CEF的面積為S₂=

1

2

FC•EC=

1

2

（12+t）（12-t）=72-

1

2

t²，
∵AE=

AD2+DE2

=

t2+122

，
∴△AEF的面積S₃=

1

2

AE²=

1

2

（t²+12²）=

1

2

t²+72；
（2）∵S₃-S₂=

1

2

t²+72-（72-

1

2

t²）=t²，
又∵t＞0，
∴t²＞0，
∴S₃-S₂＞0，
∴S₃＞S₂ ；
②∵S₃=

1

2

t²+72，S₁=6t，
∴S₃-2S₁=

1

2

t²+72-12t=

1

2

（t-12）²≥0，
∴S₃≥2S₁；
（3）∵CE、DE的長度是關于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的兩個實數根，
∴CE+DE=m，
∵CE+DE=CD=12，
∴m=12，
把m=12代入x²-mx+3m-1-=0得：x²-12x+35=0，
解得：x₁=5，x₂=7，
當DE=5時，AF=AE=

52+122

=13，
當DE=7時，AF=AE=

72+122

=

193

；

點評：此題考查了四邊形的綜合，用到的知識點是勾股定理、旋轉的性質、根與系數的關系、正方形的性質等，解題的關鍵是綜合利用以上知識點，列出算式．