Question

如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線y=

k

x

與直線y=-x-（k+1）在第二象限的交點，AB⊥x軸于B且S_△ABO=

3

2

（1）求k的值和△AOC的面積．
（2）若在雙曲線上有一點P（P在第二象限），使△AOP的面積等于4，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數(shù)k的幾何意義可求得k=-3，則反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=-x+2，再解兩解析式所組成的方程組可確定點A、C的坐標分別是（-1，3），（3，-1），然后利用S_△AOC=S_△ADO+S_△CDO進行計算；
（2）作PE⊥x軸于E，設P點坐標為（x，y），由于S_△OAP+S_△OPE=S_梯形ABEP+S_△AOB，而S_△OPE=S_△AOB，則S_△OAP=S_梯形ABEP，于是

1

2

（y+3）（-1-x）=4，把y=-

3

x

代入后整理得到3x²+8x-3=0，解得x₁=

1

3

（舍去），x₂=-3，然后把x=-3代入反比例函數(shù)解析式即可確定P點坐標．

解答：解：（1）∵S_△ABO=

3

2

，
∴

1

2

|k|=

3

2

，
而反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，即k＜0，
∴k=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=-x+2，
根據題意得：

y=- 3 x y=-x+2

，解得

x=-1 y=3

或

x=3 y=-1

，
∴點A、C的坐標分別是（-1，3），（3，-1）．
對于y=-x+2，令x=0，解得y=2，則直線y=-x+2與y軸的交點D的坐標為（0，2），
∴S_△AOC=S_△ADO+S_△CDO=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4；

（2）作PE⊥x軸于E，如圖，設P點坐標為（x，y），
∵S_△OAP+S_△OPE=S_梯形ABEP+S_△AOB，
而S_△OPE=S_△AOB，
∴S_△OAP=S_梯形ABEP，
∴

1

2

（y+3）（-1-x）=4，
∵y=-

3

x

，
∴3x²+8x-3=0，解得x₁=

1

3

（舍去），x₂=-3，
當x=-3時，y=1，
∴P點坐標為（-3，1）．
同理，當點P在A的右側時，P點坐標為（-

1

3

，9）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點坐標滿足兩個函數(shù)的解析式．也考查了三角形面積公式．