Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點A（2，0），交軸于點B（0，），直線過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，作DE⊥y軸于點E．設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作PN⊥AD于點N．

⑴填空：= ，= ，= ；

⑵探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

⑶設(shè)△PMN的周長為，點P的橫坐標為x，求與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標是（－2，3）和（－4，1.5）；（3）當x＝－3時，的最大值是15．

【解析】

（1）將A，B兩點代入可求出b，c的值，將A點代入可求出k的值；

（2）設(shè)出P，M點的坐標，從而得出PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出點D坐標，可得出CE的長，利用平行四邊形的性質(zhì)可知PM=CE，列出方程求解即可；

（3）利用勾股定理得出DC的長，根據(jù)△PMN∽△DCE，得出兩三角形周長之比等于相似比，從而得出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可.

解：⑴

因為拋物線經(jīng)過點A（2，0），B（0，），代入拋物線解析式可得：

，解得，所以拋物線解析式為，因為直線

經(jīng)過點A（2，0），代入直線解析式得：，解得：，所以直線解析式為：，所以；

⑵ 存在；

設(shè)P的坐標是（x，），則M的坐標是（x，，）

∴，

解方程 得：，，

∵點D在第三象限，則點D的坐標是（－8，－7.5），

由y＝得點C的坐標是（0，－1.5），

∴CE＝－1.5－（－7.5）＝6，

由于PM∥y軸，所以當PM＝CE時四邊形PMEC是平行四邊形。

即＝6,

解這個方程得：x1＝－2，x2＝－4，符合－8＜x＜2，

當x＝－2時，y＝3，當x＝－4時，y＝1.5，

綜上所述：點P的坐標是（－2，3）和（－4，1.5）；

⑶ 在Rt△CDE中，DE＝8，CE＝6 由勾股定理得：,

∴△CDE的周長是24，

∵PM∥y軸，∴△PMN∽△DCE，

∴，即化簡整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：

，

因為，∴當x＝－3時，的最大值是15．