Question

7．如圖，直線DE過等邊△ABC的頂點B，連接AD、CE，AD∥CE，∠E=30°，若BE：AD=1：$\sqrt{3}$，CE=4$\sqrt{3}$時，則BC=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構建全等三角形和直角三角形，由旋轉得：∠PCE=60°，∠APC=∠E=30°，根據(jù)BE：AD=1：$\sqrt{3}$，設AD=$\sqrt{3}$x，BE=x，則AP=BE=x，根據(jù)三角函數(shù)表示PF、PH、AH、GH的長，根據(jù)PG=GH+PH列式求x的長，得BE=2，在△BGC中，利用勾股定理求得BC的長．

解答 解：將△CBE繞C逆時針旋轉60°到△CAP，BC與AC重合，延長DA交PC于H，過H作HF⊥AP于F，CP交DE于G，
∴∠PCE=60°，
∵∠E=30°，
∴∠CGE=90°，
由旋轉得：CE=CP，
Rt△CGE中，CE=CP=4$\sqrt{3}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{3}$，
∴GP=PC-CG=2$\sqrt{3}$，
∵AD：BE=$\sqrt{3}$：1，
設AD=$\sqrt{3}$x，BE=x，則AP=BE=x，
∵AD∥BE，
∴∠ADE=∠E=30°，
Rt△DGH中，∠DHG=60°，
由旋轉得：∠APC=∠E=30°，
∴∠HAP=60°-30°=30°，
∴∠HAP=∠APC=30°，
∴AH=PH，AF=PF=$\frac{1}{2}$x，
cos30°=$\frac{PF}{PH}$，
∴PH=$\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴DH=AD+AH=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，
∴GH=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∵PG=2$\sqrt{3}$=GH+PH，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
x=2，
∴BE=x=2，
由勾股定理得：EG=$\sqrt{E{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∴BG=6-2=4，
在Rt△BGC中，BC=$\sqrt{B{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
故答案為：$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定、等邊三角形、特殊的三角函數(shù)等知識的運用，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，巧妙運用旋轉作輔助線，利用等邊三角形60°角將三角形平移到另一位置中，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半解決此題．