Question

14．如圖，將邊長為3的正六邊形A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆在直線l上由圖1的位置按順時(shí)針方向向右作無滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑的長為（4+2$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六邊形的性質(zhì)分別計(jì)算出A₁A₄=2a，A₁A₅=A₁A₃=3$\sqrt{3}$，而當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以3，3$\sqrt{3}$，6，3$\sqrt{3}$，3為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如圖，

∵六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆為正六邊形，
∴A₁A₄=6，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=$\frac{3}{2}$，A₁C=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴A₁A₅=A₁A₃=3$\sqrt{3}$，
當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以3，3$\sqrt{3}$，6，3$\sqrt{3}$，3為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑的長=$\frac{60π×3}{180}$+$\frac{60π×3\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×6}{180}$+$\frac{60π×3\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×3}{180}$=（4+2$\sqrt{3}$）π，
故答案為：（4+2$\sqrt{3}$）π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡，弧長公式：l=$\frac{nπr}{180}$，也考查了正六邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度一般．