Question

如圖，直線l₁的解析表達(dá)式為：y=-3x+3，且l₁與x軸交于點(diǎn)D，直線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，直線l₁，l₂交于點(diǎn)C．
（1）求直線l₂的解析表達(dá)式；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直線l₂上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以A、D、C、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形可知點(diǎn)B和點(diǎn)A在坐標(biāo)，故設(shè)l₂的解析式為y=kx+b，由圖聯(lián)立方程組求出k，b的值；
（2）已知l₁的解析式，令y=0求出x的值即可得出點(diǎn)D在坐標(biāo)；聯(lián)立兩直線方程組，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出S_△ADC；
（3）△ADP與△ADC底邊都是AD，面積相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距離；
（4）存在；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知一定存在4個(gè)這樣的點(diǎn)，規(guī)律為H、C坐標(biāo)之和等于A、D坐標(biāo)之和，設(shè)出代入即可得出H的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線l₂的解析表達(dá)式為y=kx+b，
由圖象知：x=4，y=0；
x=3，y=-

3

2

，
∴

4k+b=0 3k+b=- 3 2

，
∴

k= 3 2 b=-6

，
∴直線l₂的解析表達(dá)式為 y=

3

2

x-6；

（2）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由

y=-3x+3 y= 3 2 x-6

，
解得

x=2 y=-3

，
∴C（2，-3），
∵AD=3，
∴S_△ADC=

1

2

×3×|-3|=

9

2

；

（3）△ADP與△ADC底邊都是AD，面積相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距離，即C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=|-3|=3，
則P到AB距離=3，
∴P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=3，點(diǎn)P不是點(diǎn)C，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3
x=6，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，3）；

（4）如圖所示：存在；
∵A（4，0），C（2，-3），D（1，0），
如圖：若以CD為對(duì)角線，
則CH=AD=3，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（-1，-3）；
若以AC為對(duì)角線，
則CH′=AD=3，
∴點(diǎn)H′（5，-3）；
若以AD為對(duì)角線，
可得H″（3，3）；
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（3，3）（5，-3）（-1，-3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算以及平行四邊形的性質(zhì)等等有關(guān)知識(shí)，有一定的綜合性，難度中等偏上．