Question

我們知道，正方形的四條邊相等，四個角也都等于90°．如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=

5

；下列結論：
①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為

2

；④S△APD+S△APB=

1+ 6

2

．
其中正確結論的序號是（　�。�

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②⑨④

Answer 1

分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；
②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結合三角形的外角的性質，易得∠BEP=90°，即可證；
③過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可；

解答：解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，

AE=AP  ∠EAB=∠PAD  AB=AD

，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此選項成立；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此選項成立；
③過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=

BP2-PE2

=

5-2

=

3

，
∴BF=EF=

6

2

，
∴點B到直線AE的距離為

6

2

．
故此選項不正確；
④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=

2

，
又∵PB=

5

，
∴BE=

3

，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=

3

，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=

1

2

S_{正方形ABCD}-

1

2

×DP×BE=

1

2

×（4+

6

）-

1

2

×

3

×

3

=

1

2

+

6

2

．
故此選項不正確．
∴正確的有①②④，
故選B．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質的運用、正方形的性質的運用、正方形和三角形的面積公式的運用、勾股定理的運用等知識．