Question

（本小題滿分8分）在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連結(jié)EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG.

（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關系和

位置關系？請直接寫出你的猜想.

（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關系

和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明.

 

Answer 1

 

解（1）EG=CG  EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

  （2）EG=CG  EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

證明：延長FE交DC延長線于M，連MG

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°

∴四邊形BEMC是矩形.

∴BE=CM，∠EMC=90°

又∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG

∴MG=FD=FG

∵BC=EM ，BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

又FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG=CG ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)

∵∠FMC=90°，MF=MD， FG=DG

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

即∠EGC=90°

∴EG⊥CG-------------------------------------------------------------------------------------------(2分)

解析:略