Question

（2011•重慶）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側．設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；
（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當邊FG恰好經過點C時，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴當邊FG恰好經過點C時，t
（2）當0≤t＜1時，S=2t+4；
當1≤t＜3時，S=﹣t²+3t+；
當3≤t＜4時，S=﹣4t+20；
當4≤t＜6時，S=t²﹣12t+36；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，
1）當AH=AO=3時，（如圖②），過點E作EM⊥AH于M，則AM=AH=，
在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°=，
∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=，
∴t=3﹣或t=3+，

2）當HA=HO時，（如圖③）則∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4；

3）當OH=OA時，（如圖④），則∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴點E和點O重合，
∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；

綜上所述，存在5個這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣或t=3+或t=2或t=2或t=0．

略