Question

在直角坐標平面內(nèi)，O為原點，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和點B（0，3），頂點為P．
（1）求二次函數(shù)的解析式及點P的坐標；
（2）如果點Q是x軸上一點，以點A、P、Q為頂點的三角形是直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意，得，
解得：b=2，c=3，
∴二次函數(shù)的解析式是y=-x²+2x+3，
變形為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點P的坐標是（1，4）；

（2）P（1，4），A（-1，0），
∴AP²=20．
設點Q的坐標是（x，0），
則AQ²=（x+1）²，PQ²=（x-1）²+16，
當∠AQP=90°時，AQ²+PQ²=AP²，（x+1）²+（x-1）²+16=20，
解得x₁=1，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴點Q的坐標是（1，0）．
當∠APQ=90°時，AP²+PQ²=AQ²，20+（x+1）²+16=（x+1）²，
解得x=9，
∴點Q的坐標是（9，0）．
當∠PAQ=90°時，不合題意．
綜上所述，所求點Q的坐標是（1，0）或（9，0）．
分析：（1）將A、B兩點坐標代入y=-x²+bx+c，解得b、c的值，再把解析式化為頂點坐標式，求出P點坐標；
（2）設點Q（x，0），由于根據(jù)圖形，A不可能為直角頂點，則分別討論P、Q為直角頂點時的情況．
點評：本題考查了對二次函數(shù)解析式求解的掌握及函數(shù)與圖形相結合的綜合問題．