Question

如圖，已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．
（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，2），求B點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式．
（2）過A點(diǎn)作AQ垂直于y軸交于Q點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)從D點(diǎn)出發(fā)沿D→C→N路線以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，DC長(zhǎng)為4．求△AQP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，2），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-2）．
∴k=xy=-8×（-2）=16，
∴y=；

（2）過A點(diǎn)作AQ垂直于y軸交于Q點(diǎn)，
設(shè)P點(diǎn)從D點(diǎn)出發(fā)延D→C→N路線以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，DC長(zhǎng)為4，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，2），
∴AQ=8，DP=t，QN=6，
∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，
S=t×AQ=4t，
當(dāng)4≤t≤10時(shí)，
S=×QN×AQ=×8×6=24；
∴△AQP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系式為：
；
∴S的最大值為24；

（3）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，-），代入y=x得，-=x₁，x₁=-2n；
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2n，-）．
因?yàn)锽D∥y軸，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2n，-n）．
因?yàn)樗倪呅蜲DCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4 ①；
又因?yàn)?n•=k，即n²=k ②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=；
又因?yàn)閚²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y(tǒng)=，得m=2．故M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；C（-4，-2）；
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，則，
解得
∴一次函數(shù)解析式為：y=x+．
分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（8，2），A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易得k的值；
（2）利用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出AQ，CN的長(zhǎng)，利用P在CD上和P在CN上分別得出即可，進(jìn)而得出面積最值即可；
（3）根據(jù)S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=，S_△OEN=，即可得出k的值，進(jìn)而得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出解析式即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關(guān)鍵．