Question

已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求它的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移k個(gè)單位，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，若∠ACB=90°，求此時(shí)拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（4）在（2）的條件下，平行于x軸的直線x=t（0＜t＜k） 分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）y=-x²+x=-（x-3）²+，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），
所以點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，0）；

（2）拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移k個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為
y=-x²+x+k
令y=0，即-x²+x+k=0，
解得x₁=3-，x₂=3+，
即A（3-，0）、B（3+，0），C（0，k）；
在Rt△AOC中
AC²=OA²+OC²=（-3）²+k²；
BC²=OB²+OC²=（+3）²+k²；
AB²=（2）²=AC²+BC²=（-3）²+k²+（+3）²+k²；
整理得k（k-4）=0
k=0（不合題意），k=4；
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+x+4；

（3）由拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+x+4；
得出M（3，），A（-2，0），B（8，0），C（0，4）
如圖，

連接MC、CD，根據(jù)勾股定理
求得MC=，DC=5，MD=，
∵M(jìn)C2+CD2=MD2
由勾股定理逆定理△CMD為直角三角形，且DC⊥CM，
又∵DC=DA=DB，
∴直線CM與⊙D相切；

（4）存在.．
分析：（1）把二次函數(shù)配方求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）把二次函數(shù)向上平移k個(gè)單位的解析式為+k，求出A、B、C三點(diǎn)，利用勾股定理求出k即可；
（3）利用求出的二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出以D、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形，得出結(jié)論；
（4）求出過A、C的兩點(diǎn)和BC兩點(diǎn)的直線解析式，按以三個(gè)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)分情況探討得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)，平移的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)，以及分類討論思想的滲透．