Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B，C在x軸上，點A，E在y軸上，OB：OC=1：3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2．
（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）點D在（1）中的拋物線上，四邊形ABCD是以BC為一底邊的梯形，求經(jīng)過B、D兩點的一次函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，過點D作直線DQ∥y軸交線段CE于點Q，在拋物線上是否存在點P，使直線PQ與坐標(biāo)軸相交所成的銳角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出OC=3OB，OE=9OB，進而得出A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9），再利用交點式求出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)梯形的兩底平行得出AD∥BC，則D、A兩點縱坐標(biāo)相同，得出D點坐標(biāo)，設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，將B、D兩點坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線CE的解析式，得到Q點坐標(biāo)為（2，3）．當(dāng)直線PQ與坐標(biāo)軸相交所成的銳角等于梯形ABCD的底角時，分兩種情況進行討論：①直線PQ與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCD的底角，設(shè)直線PQ與y軸交于點F，過點Q作QM⊥y軸于點M，由∠QFM=∠ABO，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出F點坐標(biāo)，得到直線FQ的解析式，然后與拋物線的解析式聯(lián)立，即可求出點P的坐標(biāo)；②直線PQ與x軸相交所成的銳角等于梯形ABCD的底角，過點Q作AB的平行線PQ，交x軸于點G，求出直線GQ的解析式，然后與拋物線的解析式聯(lián)立，即可求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意得：∠AOB=∠COE=90°，
∴

OA

OB

=tan∠ABO=2，

OE

OC

=tan∠OCE=3，
∴OA=2OB，OE=3OC．
∵OB：OC=1：3，
∴OC=3OB，
∴OE=9OB．
∵AE=7，
∴9OB-2OB=7，
∴OB=1，OC=3，OA=2，OE=9，
∴A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），
∴2=-3a，即a=-

2

3

，
∴拋物線解析式為：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）過點A作AD∥x軸交拋物線于點D．
∴y_D=y_A=2，
∴D（2，2）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∴

0=-k+b 2=2k+b

，
解得：

k= 2 3 b= 2 3

，
∴直線BD的解析式為y=

2

3

x+

2

3

；

（3）易知直線CE的解析式為y=-3x+9，Q（2，3）．
當(dāng)直線PQ與坐標(biāo)軸相交所成的銳角等于梯形ABCD的底角時，分兩種情況：
①如圖1，設(shè)直線PQ與y軸交于點F，∠QFE=∠ABC．過點Q作QM⊥y軸于點M，則∠QME=∠AOB=90°．
∵∠QFM=∠ABO，
∴tan∠QFM=tan∠ABO=2，
∴

QM

MF

=2，
∵Q（2，3），
∴MF=

1

2

QM=1，MO=3，
∴F（0，2）與A點重合，即P₁（0，2）．
經(jīng)驗證，P₁（0，2）在拋物線y=-

2

3

x²+

4

3

x+2上．
易求得，直線FQ的解析式為y=

1

2

x+2，
由

y= 1 2 x+2 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，解得

x1=0 y1=2

，

x2= 5 4 y2= 21 8

，
∴點P₂的坐標(biāo)為（

5

4

，

21

8

）；
②如圖2，過點Q作AB的平行線PQ，交x軸于點G，∠QGC=∠ABC．
易求直線AB的解析式為y=2x+2，則直線GQ的解析式為y=2x-1．
由

y=2x-1 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，解得

x1= -1+ 19 2 y1=-2+ 19

，

x2= -1- 19 2 y2=-2- 19

，
∴點P₃的坐標(biāo)為（

-1+ 19

2

，-2+

19

），點P₄的坐標(biāo)為（

-1- 19

2

，-2-

19

）；
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為
P₁（0，2），P₂（

5

4

，

21

8

），P₃（

-1+ 19

2

，-2+

19

），P₄（

-1- 19

2

，-2-

19

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，等腰梯形的性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合、方程思想及分類討論是解題的關(guān)鍵．