Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)是2．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y的正半軸上．一條拋物線經(jīng)過A點(diǎn)，頂點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）正方形OABC的對(duì)角線OB與拋物線交于E點(diǎn)，線段FG過點(diǎn)E與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于F，G點(diǎn)，試比較線段OE與EG的長(zhǎng)度；
（3）點(diǎn)H是拋物線上在正方形內(nèi)部的任意一點(diǎn)，線段IJ過點(diǎn)H與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于I、J點(diǎn)，點(diǎn)K在y軸的正半軸上，且OK=OH，請(qǐng)證明△OHI≌△JKC．

Answer 1

分析：（1）解本題時(shí)可先設(shè)出二次函數(shù)的方程，然后根據(jù)所給的條件可得出拋物線上的兩點(diǎn)，代入函數(shù)解析式計(jì)算即可．
（2）本題根據(jù)觀察可知OB的表達(dá)式為：y=x，由此可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m），再根據(jù)點(diǎn)E在拋物線上，將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，化簡(jiǎn)即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出OE的長(zhǎng)，再根據(jù)EG=GF-EF即可得出EG的長(zhǎng)，比較即可得出答案．
（3）本題可先設(shè)出H點(diǎn)的坐標(biāo)，由H點(diǎn)在拋物線上列出關(guān)于H點(diǎn)坐標(biāo)的方程，再根據(jù)勾股定理OH²=OI²+HI²得出OH關(guān)于H點(diǎn)坐標(biāo)的式子，根據(jù)OK=OH可得出CK的長(zhǎng)，證明CK=IH，最后根據(jù)三角形相似定理HL即可證出兩三角形全等．

解答：（1）解：由題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+b．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)（0，1），點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，0）代入，
得：a=-

1

4

，b=1．
所求拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+1．

（2）解：由于點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線OB上，又在拋物線上，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m）（0＜m＜2），
則m=-

1

4

m²+1．
解得m₁=2

2

-2，m₂=-2

2

-2（舍去）．
所以O(shè)E=

2

m=4-2

2

．
所以EG=GF-EF=2-m=2-（2

2

-2）=4-2

2

．
所以O(shè)E=EG．

（3）證明：設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（p，q）（0＜p＜2，0＜q＜2），
由于點(diǎn)H在拋物線y=-

1

4

x²+1上，
所以q=-

1

4

p²+1，
即p²=4-4q．
因?yàn)镺H²=OI²+HI²=p²+q²=4-4q+q²=（2-q）²，
所以O(shè)H=2-q．
所以O(shè)K=OH=2-q．
所以CK=2-（2-q）=q=IH．
因?yàn)镃J=OI，∠OIH=∠JCK=90°，
所以△OHI≌△JKC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．解此類題目時(shí)要注意學(xué)會(huì)假設(shè)未知數(shù)，結(jié)合勾股定理和三角形相似的性質(zhì)來解．