Question

【題目】矩形ABCD中，點P在對角線BD上（點P不與點B重合），連接AP，過點P作PE⊥AP交直線BC于點E．

（1）如圖1，當AB＝BC時，猜想線段PA和PE的數(shù)量關系：　　；

（2）如圖2，當AB≠BC時．求證：

（3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE為邊作矩形APEF，連接BF，當PE＝時，直接寫出線段BF的長．

Answer 1

【答案】（1）線段PA和PE的數(shù)量關系為：PA＝PE，理由見解析；（2）見解析；（3）線段BF的長為或

【解析】

（1）過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于，根據(jù)正方形的性質，可證得PM=PN， ∠APM＝∠EPN，即可證得△APM≌△EPN，得到PA＝PE

（2）過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，根據(jù)矩形的性質可證得∠APM＝∠EPN，再證明△APM∽△EPN，得到再證明△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，

得到相似比，，即可得出

（3）①當P在O的右上方時，由（2）得：，得PA長度，再求出BD、AO長度，

因為tan∠ABD＝可求得BO，利用勾股定理求得OP，即可求出BP，根據(jù)四邊形APEF是矩形，可求出PF＝AE長度，QB、QA，證得點A、P、E、B、F五點共圓，AE、PF為圓的直徑，所以∠PBF＝90°，即可求得BF．

②當P在O的左下方時，用同樣的方法可求得AO、BO、OP、PF、BP，可得：點A、P、E、B、F五點共圓，AE、PF為圓的直徑，所以∠PBF＝90°，利用勾股定理即可求得BF．

（1）線段PA和PE的數(shù)量關系為：PA＝PE，理由如下：

過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，

∴PM＝PN，

∴四邊形MBNP是正方形，

∴∠MPN＝90°，

∵PE⊥AP，

∴∠APE＝90°，

∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，

∴∠APM＝∠EPN，

在△APM和△EPN中，，

∴△APM≌△EPN（ASA），

∴PA＝PE，

故答案為：PA＝PE；

（2）過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，

∴四邊形MBNP是矩形，

∴∠MPN＝90°，

∵PE⊥AP，

∴∠APE＝90°，

∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，

∴∠APM＝∠EPN，

∵∠AMP＝∠ENP＝90°，

∴△APM∽△EPN，

∴

∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，

∴PM∥AD，PN∥CD，

∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，

∴，，

∴，

∴

∴

（3）連接AE、PF交于Q，連接QB，過點A作AO⊥BD于O，

①當P在O的右上方時，如圖3所示：

由（2）得：

∴PA＝PE＝

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，

∴BD＝

∵AO⊥BD，

∵△ABD的面積＝

∴

∵tan∠ABD＝

∴

解得：BO＝

由勾股定理得：OP＝

∴BP＝BO+OP＝

∵四邊形APEF是矩形，

∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，

∴PF＝AE＝

∵∠ABE＝90°，

∴QB＝AE＝QE，

∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，

∴點A、P、E、B、F五點共圓，AE、PF為圓的直徑，

∴∠PBF＝90°，

∴BF＝

②當P在O的左下方時，如圖4所示：

同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝，

則BP＝BO﹣OP＝，

同理可得：點A、P、E、B、F五點共圓，AE、PF為圓的直徑，

∴∠PBF＝90°，

∴BF＝

綜上所述，當PE＝時，線段BF的長為或．

故答案為：或