Question

【題目】(1)模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥ED于D，過(guò)B作BE⊥ED于E.求證：△BEC≌△CDA；

(2)模型應(yīng)用：

①已知直線y＝x＋3與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過(guò)點(diǎn)A，C作直線.求直線AC的解析式；

②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為(8，6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)D在第一象限，且是直線y＝2x－6上的一點(diǎn)，若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）y=x+4（3）(4,2)或()或().

【解析】

（1）由條件可求得∠EBC=∠ACD，利用AAS可證明△BEC≌△CDA；

（2）由直線解析式可求得A、B的坐標(biāo)，利用模型結(jié)論可得CE=BO，BE=AO，從而可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；

（3）分三種情況考慮：如圖2所示，當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD=PD，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，2x-6），利用三角形全等得到x+6-（2x-6）=8，得x=4，易得D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖3所示，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，AP=PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），表示出D點(diǎn)坐標(biāo)為（14-m，m+8），列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖4所示，當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD=PD時(shí)，同理求出D的坐標(biāo)．

(1)∵∠ACB=90，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90，

∴∠EBC=∠ACD，

在△BEC和△CDA中 ，

∴△BEC≌△CDA(AAS)；

(2)如圖1,

過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交直線l于C過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，

在y=x+4中，令y=0可求得x=3，令x=0可求得y=4，

∴OA=4，OB=3，

同(1)可證得△CDB≌△BAO，

∴CD=BO=3，BD=AO=4，

∴OD=4+3=7，

∴C(7,3),且A(0,4)，

設(shè)直線AC解析式為y=kx+4,把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得7k+4=3,解得k=，

∴直線AC解析式為y=x+4；

(3)如圖2,

當(dāng)∠ADP=90時(shí)，AD=PD，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PE于F，

∴點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,∴DF=AB=4

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,2x6),6(2x6)=4，得x=4，

易得D點(diǎn)坐標(biāo)(4,2)；

如圖3,當(dāng)∠APD=90°時(shí)，AP=PD，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PE于F，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,m),易證,△APE≌△PDF，

∴PF=AE=6m，DF=PE=8，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1m,m+8)，

∴m+8=2(14m)6,得m= ,

∴D點(diǎn)坐標(biāo)()；

如圖4,當(dāng)∠ADP=90°時(shí),AD=PD時(shí),同理得D點(diǎn)坐標(biāo)()，

綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(4,2)或()或().