Question

22、已知：關(guān)于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0．
（1）若方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求m的值，并求出這時方程的根．
（2）問：是否存在正數(shù)m，使方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=0，建立關(guān)于m的等式，由此求出m的取值．再化簡方程，進(jìn)而求出方程相等的兩根；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡x₁²+x₂²=136，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．

解答：解：（1）若方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
則有△=b²-4ac=（8-4m）²-16m²=64-64m=0，
解得m=1，
當(dāng)m=1時，原方程為x²+4x+4=0，
∴x₁=x₂=-2；
（2）不存在．
假設(shè)存在，則有x₁²+x₂²=136．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．
即（4m-8）²-2×4m²=136，
∴m²-8m-9=0，
（m-9）（m+1）=0，
∴m₁=9，m₂=-1．
∵△=（8-4m）²-16m²=64-64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=9，m₂=-1都不符合題意，
∴不存在正數(shù)m，使方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于136．

點(diǎn)評：總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
2、根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=$-frac{a}$x₁x₂=$frac{c}{a}$．