Question

【題目】已知在△ABC中，∠BAC=90°，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)EF∥AB，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)D分別作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于點(diǎn)G，H，連接AG．

（1）當(dāng)∠ACB=30°時(shí)，如圖1所示．
①求證：△GCD∽△AHD；
②試判斷AD與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)tan∠ACB= 時(shí)，如圖2所示，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AD與DG之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

①證明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，

∴∠GCM=∠BAC=90°，

∵GD⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠GCA=∠ADM，

∵∠AND=∠GMC，

∴DAH=∠∠CGD，

∵∠ADH=∠CDG=90°﹣∠HDG

∴△GCD∽△AHD；

②解：由①知：△GCD∽△AHD，

∴ ，

在Rt△DHC中，

∵∠ACB=30°，

=tan30°= ，

∴ = ；

（2）

5AD=4DG，

解：由①知△GCD∽△AHD，

在Rt△DHC中，

∵tan∠ACB= ，

∴ = ．

【解析】（1）①根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠GCM=∠BAC=90°，根據(jù)垂直的定義得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠∠CGD，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，根據(jù)tan∠ACB= ，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握相似圖形和相似三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等；④三邊對(duì)應(yīng)成比例；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．