Question

3、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P、Q是BC上兩點，且滿足BP²+CQ²=PQ²，則∠PAQ的度數(shù)是

45

°．

Answer 1

分析：由∠BAC=90°，AB=AC，可將△AQC逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°得△ADB，AC與AB重合，連DP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠1=∠C，AD=AQ，BD=CQ，∠DAQ=90°，則∠C=∠ABC=∠1=45°，得到∠DBP=2∠C=90°，根據(jù)勾股定理和BP²+CQ²=PQ²，得到DP=PQ，則有△ADP≌△AQP，得到∠DAP=∠PAQ，而∠DAQ=90°，即可求出∠PAQ的度數(shù)．

解答：解：如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴將△AQC逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°得△ADB，AC與AB重合，連DP，
∴∠1=∠C，AD=AQ，BD=CQ，∠DAQ=90°，
而∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠1=45°，
∴∠DBP=2∠C=90°，
∴DP²=DB²+BP²，
而QC²+BP²=PQ²，
∴DP=PQ
∴△ADP≌△AQP，
∴∠DAP=∠PAQ，
而∠DAQ=90°，
∴∠PAQ=45°．
故答案為45．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角形全等的判定與性質(zhì)．