Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，．記旋轉(zhuǎn)角為．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，求線段的長(zhǎng)的最小值（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，，從而求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)在線段上，然后利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論；

（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用銳角三角函數(shù)可得，，求出OD，即可得出結(jié)論；

（3）連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)N，連接、MN，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得MN=OB=，利用勾股定理求出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

∵ 點(diǎn)，點(diǎn)，

∴ ，．

∴ ，．

∵ 是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，

∴ ，點(diǎn)在線段上．

∴ ．

在中，，．

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

∵ ，，

∴ ，．

∴ ．

在中，，．

∴ ．

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)N，連接、MN

∴MN為△A′OB的中位線，

∴MN=OB=

由勾股定理可得

∴≥－MN=（當(dāng)且僅當(dāng)M 在線段O′N上時(shí)，取等號(hào)）

∴的最小值為．