Question

【題目】已知，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BD平分∠ ABC，∠CAD=45， AC=4，點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，則CE的最小值為 ．

Answer 1

【答案】-1.
【解析】∵∠ABC=90°，
∴點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共圓，AC是直徑，
又∵ BD平分∠ ABC，
∴∠DBC=45°，且∠CAD=45°，
∴點(diǎn)D也在點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)所確定的圓上，
即點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
如下圖：設(shè)此圓為圓O.

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)M處，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E在DC的中點(diǎn)N處，
∴當(dāng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN的中點(diǎn)O'為圓心，以O(shè)'O=O'M=O'N為半徑的圓的一部分，

∴當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE所在的直線過圓心O'時(shí)，CE有最小值，
此時(shí)：連接O'O，MN，O'E，
∵AC是直徑， AC=4，且∠CAD=45°，M、N分別是AD、DC中點(diǎn)
∴ADC是等腰直角三角形，O'O⊥AC，O'O=O'M=O'N=1，
在RtO'OC中，O'C==,
∴CE=O'C-O'N=-1.
所以答案是：-1.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．