Question

已知拋物線y=ax²+bx+c，當x=0時，有最小值為1；且在直線y=2上截得的線段長為4．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點P是拋物線的任意一點，記點P到x軸的距離為d₁，點P與點F（0，2）的距離為d₂，猜想d₁、d₂的大小關系，并證明；
（3）若直線PF交此拋物線于另一點Q（異于P點）．
①試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由；
②以PQ為直徑的圓與y軸的交點為A、B，若OA•OB=1，求直線PQ對應的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標列式求出b=0，c=1，再根據(jù)在直線y=2上截得的線段長為4，利用拋物線的對稱性可得點（2，2）在拋物線上，然后把點的坐標代入拋物線解析式求出a的值，從而得解；
（2）設P點坐標為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式求出PF的長，即d₂，d₁等于P點的縱坐標的值；比較兩距離即可；
（3）①過點P作PM⊥x軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，根據(jù)（2）的結論可得PF=PM，QF=QN，然后利用梯形的中位線定理可得圓心到x軸的距離等于PQ的一半，再根據(jù)直線與圓的位置關系判斷圓與x軸相切；
②設圓與x軸的切點為E，根據(jù)切割線定理可得OE=1，再設直線PQ的解析式為y=kx+2，與拋物線解析式聯(lián)立，根據(jù)點PQ的中點的橫坐標的長度等于OE列式求出k值，即可得解．

解答：解：（1）∵當x=0時，有最小值為1，
∴-

b

2a

=0，

4ac-b2

4a

=1，
解得b=0，c=1，
∴拋物線關于y軸對稱，
∵在直線y=2上截得的線段長為4，
∴拋物線經(jīng)過點（-2，2）與（2，2），
∴4a+1=2，
解得a=

1

4

，
所以，此拋物線的解析式：y=

1

4

x²+1；

（2）猜想：d₁=d₂．
設拋物線上的點P的坐標為（x，

1

4

x²+1），
則d₁=

1

4

x²+1，
d₂=PF=

(x-0)2+( 1 4 x2+1-2)2

=

1 16 x4+ 1 2 x2+1

=

1

4

x²+1，
所以，d₁=d₂；

（3）①以PQ為直徑的圓與x軸相切．
理由如下：過點P作PM⊥x軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，
由（2）可知，PF=PM，QF=QN，
∴PF+QF=PM+QN，
即PQ=PM+QN，
∵圓心D是直徑PQ的中點，過D作DE⊥x軸于點E，
∴DE=

1

2

（PM+QN）=

1

2

PQ，
即圓心到x軸的距離等于圓的半徑，
所以，以PQ為直徑的圓與x軸相切；
②由切割線定理可得OE²=OA•OB，
∵OA•OB=1，
∴OE²=1，
解得OE=1，
設直線PQ的解析式為y=kx+2，
聯(lián)立

y=kx+2 y= 1 4 x2+1

得，

1

4

x²+1=kx+2，
整理得，x²-4kx-4=0，
所以，線段PQ的中點橫坐標為-

-4k

2×1

=2k，
即點E的坐標為（2k，0），
當點E在y軸右側(cè)時，2k=1，
解得k=

1

2

，
此時，所求直線PQ對應的函數(shù)解析式為：y=

1

2

x+2，
當點E在y軸左側(cè)時，2k=-1，
解得k=-

1

2

，
此時所求直線PQ對應的函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x+2，
綜上，所求直線PQ對應的函數(shù)解析式為：y=

1

2

x+2或y=-

1

2

x+2．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式，拋物線的對稱性，兩點間的距離公式，梯形的中位線定理，直線與圓的位置關系的判定，圓的切割線定理，綜合性較強，（3）要注意分情況討論．