Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點D，交邊AC于點E．過D點作DF⊥AC于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）求證：CF＝EF；

（3）延長FD交邊AB的延長線于點G，若EF＝3，BG＝9時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）證明OD∥AC，可得OD⊥DF，可得結(jié)論；
（2）證出∠CED＝∠C，則CD＝DE，可得出結(jié)論；
（3）證出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圓的半徑.

（1）證明：如圖1，連接OD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠ABC＝∠ODB，

∴∠C＝∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；（亦有其他證法）

（2）證明：如圖2，連接DE，

∵四邊形AEDB為圓內(nèi)接四邊形，

∴∠CED＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠C，

∴∠CED＝∠C，

∴CD＝DE，

∵DF⊥CE，

∴CF＝EF；

（3）如圖3，連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴CD＝BD，

∵OD∥AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴，

∴設(shè)⊙O的半徑是r，則AB＝AC＝2r，

∴AF＝2r﹣3，OG＝9+r，AG＝9+2r，

∴，

∴r＝，即⊙O的半徑是．