Question

【題目】如圖所示，已知拋物線P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F，G分別在線段BC，AC上，拋物線P上的部分點的橫坐標對應的縱坐標如下.

(1)求A，B，C三點的坐標；

(2)若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并指出m的取值范圍；

(3)當矩形DEFG的面積S最大時，連接DF并延長至點M，使FM＝k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍；

(4)若點D的坐標為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)；（2）S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)；（3）k的取值范圍是k≠且k＞0；（4）S矩形DEFG＝6．

【解析】試題分析：（1）可任選三組坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線P的解析式．然后根據(jù)拋物線P的解析式即可得出A、B、C三點的坐標；

（2）求矩形的面積需知道矩形的長和寬，可先在直角三角形AOC中，根據(jù)AD，OA，DG，CD的比例關系式，用m表示出DG的長，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的長，進而可根據(jù)ED=EO+OD得出ED的長，然后由矩形的面積公式即可得出S與m的函數(shù)關系式；

（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關系式即可得出S的最大值及對應的m的值．進而可得出D，E，F，G的坐標．如果設DF的延長線交拋物線于N點，那么可先求出FN與DF的比例關系．如果過N作x軸的垂線設垂足為H，那么我們可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均為F，N點的縱坐標的絕對值，因此要先求出N點的縱坐標，可先根據(jù)D、F的坐標求出直線DF的解析式，然后聯(lián)立直線DF的解析式與拋物線P的解析式求出N點的坐標，然后根據(jù)上述比例關系求出FN、DF的比例關系，如果求出此時FN=k1DF，那么由于M不在拋物線上，因此k的取值范圍就是k＞0，且k≠k1．

（4）由，AD=1，AO=2，OC=4，得到DG=2．又由，AB=6，CP=2，OC=4，得到FG=3，從而得到結論．

試題解析：解：（1）設y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三組值代入，得： ，解得： ，∴解析式為： ，令y=0，解得x1=﹣4，x2=2；

令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三點的坐標分別是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．

（2）由題意得： ，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．

（3）∵SDEFG=﹣6m2+12m=﹣6（m﹣1）2+6，（0＜m＜2），∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6．

當矩形面積最大時，其頂點為D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0）。設直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=﹣，∴。又因為拋物線P的解析式為： ，令，解得：x=．

設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是k≠且k＞0．

（4）∵，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2．又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，∴SDEFG=DGFG=6．