Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)，弦AF交半徑OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作⊙O的切線分別交x軸、y軸于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求證：PE=PF；
（2）若∠FAQ=30°，求直線PQ的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的前提下，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以單位長度/s的速度沿向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)（如圖2），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，那么當(dāng)t為何值時(shí)，△AMF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）連OF，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠1+∠2=90°，而∠4+∠A=90°，∠4=∠3，則∠3+∠A=90°，而∠1=∠A，可得到∠2=∠3，即可得到結(jié)論；
（2）由∠FAQ=30°，易得到∠FQO=30°，而OF=3，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OQ=2OF=6，OP=OQ=2，則P（-2，0），Q（0，-6），然后利用待定系數(shù)法確定直線PQ的函數(shù)表達(dá)式；
（3）要使△AMF的面積最大，則AF邊上的高最大，即M運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)．過O作ON⊥AF于N，交于M′，如圖2，根據(jù)垂徑定理得到AN=FN，弧AM′=弧FM′，在Rt△ANO中，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ON=OA=，AN=，則AF=2AN=3，M′N=+3=，然后根據(jù)三角形面積公式即可求最大面積即△AM′F的面積；又∠AOF=120°，得到∠AOM′=∠FOM′=120°，根據(jù)弧長公式計(jì)算出弧AM′的長度，然后除以速度即可得到此時(shí)t的值．
解答：（1）證明：連OF，如圖1，
∵PQ切⊙O于F點(diǎn)，
∴OF⊥PQ，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠4+∠A=90°，
而∠4=∠3，
∴∠3+∠A=90°，
又∵OA=OF，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
∴PE=PF；

（2）解：如圖1，
∵∠FAQ=30°，
∴∠1=30°，
∴∠FOQ=60°，
∴∠FQO=30°，
又∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
∴OF=3，
∴OQ=2OF=6，
OP=OQ=2，
∴P（-2，0），Q（0，-6），
設(shè)直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
把P（-2，0），Q（0，-6）代入得，-2k+b=0，b=-6，解得k=-，b=-6，
∴直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-6；

（3）解：要使△AMF的面積最大，則AF邊上的高最大，過O作ON⊥AF于N，交于M′，如圖2，
∴AN=FN，弧AM′=弧FM′，
在Rt△ANO中，∠NAO=30°，OA=3，
∴ON=OA=，AN=，
∴AF=2AN=3，
∴M′N=+3=，
∴△AM′F的面積=××3=；
∵∠AOF=120°，
∴∠AOM′=∠FOM′=120°，
∴弧AM′的長度==2π，
∴t==6（s），
∴當(dāng)t為6s時(shí)，△AMF的面積最大，最大面積是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；同時(shí)運(yùn)用切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、圓周角定理以及弧長公式；也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．