Question

如圖，一次函數y₁=ax+b的圖象與反比例函數y2=

k

x

的圖象交于A，B兩點，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標為（-

3

2

，m）
（1）求反比例函數的解析式和一次函數的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出使函數值y₁＜y₂成立的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據∠AOC的正切值，可設出點A的坐標，利用OA的長結合勾股定理可確定點A的坐標，進而可確定反比例函數的解析式；然后將B點坐標代入，即可得到點B的坐標，即可利用待定系數法求得直線的解析式．
（2）結合兩個函數的圖象及A、B的坐標即可判斷出y₁＜y₂成立的自變量x的取值范圍．

解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于D；
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴在Rt△AOD中，tan∠AOC=

AD

OD

，
∴

AD

OD

=

1

3

，
設AD=n，OD=3n（其中n＞0）；
∴在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=

n2+(3n)2

=

10

n，
又∵OA=

10

，
∴

10

=

10

n，
∴n=1，
∴3n=3，
∴A（3，1）；（2分）
將A（3，1）代入反比例函數y2=

k

x

中，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴反比例函數解析式為y=

3

x

；（4分）
將B（-

3

2

，m）代入y=

3

x

中，
∴m=

3

- 3 2

=-2，
∴B（-

3

2

，-2）；（6分）
將A（3，1），B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b中，
得

1=3a+b -2=- 3 2 a+b

解之得

a= 2 3 b=-1

，
∴y1=

2

3

x-1．（8分）

（2）由圖象知，當x＜-

3

2

或0＜x＜3時，y₁＜y₂．（10分）

點評：此題主要考查了用待定系數法確定函數解析式的方法以及根據函數圖象來比較函數值大小的方法，同時還涉及到解直角三角形的應用，難度適中．