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        1. (2013•雨花臺區(qū)一模)如圖,在直角坐標系中,A點坐標為(0,6),B點坐標為(8,0),點P沿射線BO以每秒2個單位的速度勻速運動,同時點Q從A到O以每秒1個單位的速度勻速運動,當點Q運動到點O時兩點同時停止運動.

          (1)設(shè)P點運動時間為t秒,M為PQ的中點,請用t表示出M點的坐標為
          (4-t,3-
          1
          2
          t)
          (4-t,3-
          1
          2
          t)
          ;
          (2)設(shè)△BPM的面積為S,當t為何值時,S有最大值,最大值為多少?
          (3)請畫出M點的運動路徑,并說明理由;
          (4)若以A為圓心,AQ為半徑畫圓,t為何值時⊙A與點M的運動路徑只有一個交點?
          分析:(1)求得P、Q的坐標,根據(jù)M是PQ的中點,則M的坐標即可求解;
          (2)求出BP的長,△BPQ中BP邊上的高是M的縱坐標,根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)解析式,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值;
          (3)根據(jù)M的坐標的關(guān)系確定M所在的函數(shù)解析式,即可確定所在的圖形;
          (4)⊙A與點M的運動路徑只有一個交點,則⊙A與射線y=
          1
          2
          x相切,則△OAE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系即可列方程求解.
          解答:解:(1)∵OP=8-2t,OQ=6-t
          又∵M為PQ的中點,
          ∴M點的坐標為(4-t,3-
          1
          2
          t);

          (2)BP=2t,M的縱坐標是:3-
          1
          2
          t,
          則S=
          1
          2
          •2t•(3-
          1
          2
          t),
          即S=-
          1
          2
          t2+3t=-
          1
          2
          (t-3)2+
          9
          2
          ,
          則當t=3時,S有最大值是
          9
          2
          ;

          (3)∵M點的坐標為(4-t,3-
          1
          2
          t),
          ∴M在y=
          1
          2
          x+1上,即運動的路徑是y=
          1
          2
          x+1(x≥0);

          (4)⊙A與點M的運動路徑只有一個交點,則⊙A與射線y=
          1
          2
          x+1相切,
          ∴A到直線的距離為AQ=t,
          設(shè)切點為E,
          則cos∠AOE=
          t
          5
          =
          2
          5
          ,
          解得:t=2
          5
          點評:本題考查了圓與直線的位置關(guān)系,以及等腰直角三角形的性質(zhì),正確確定M運動的路徑是射線,是解題的關(guān)鍵.
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          s2
          s2

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          8.8×1010
          8.8×1010
           美元.

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