Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，點B，D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°．

（1）∠C的度數(shù)為　 　；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）當AB=3時，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）．

Answer 1

【答案】（1）∠C=30°；（2）證明見解析；（3）+3π．

【解析】

（1）直接根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠D=30°；

（2）先根據(jù)圓周角定理得∠ABC=90°，則∠BAC=60°，所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到AE是⊙O的切線；

（3）連結OB，先判斷△OAB為等邊三角形，則OA=3，∠AOB=60°，所以∠BOC=120°，然后利用圖中陰影部分的面積=S△AOB+S扇形BOC和扇形的面積公式、等邊三角形的面積公式計算即可．

（1）∠C=∠D=30°．

故答案為：30°；

（2）∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=60°，而∠EAB=30°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；

（3）連結OB，如圖，∵∠BAC=60°，AB=3，∴△OAB為等邊三角形，∴OA=3，∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，∴圖中陰影部分的面積=S△AOB+S扇形BOC=×32+=+3π．