Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H。
（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：             ；
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由．如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)。（可利用（2）得到的結(jié)論）

Answer 1

解：（1）如圖①AH=AB； （2）數(shù)量關(guān)系成立.如圖②，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN， ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM ∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高， ∴AB=AH； （3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE， 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，                           設(shè)AH=x，則MC=x-2，NC=x-3                             在Rt△MCN中，由勾股定理，得                                     ∴ 解得（不符合題意，舍去） ∴AH=6。

圖② 圖③