Question

（2009•寶山區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD和EFCG，點E、F、G分別在線段AC、BC、CD上，正方形ABCD的邊長為6．
（1）如果正方形EFCG的邊長為4，求證：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的邊長為多少時，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到各角均為直角，AC，EC的長，從而根據(jù)兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似求得結(jié)論．
（2）設正方形EFCG的邊長為x，則BF=6-x，連接FG交AC于點H，從而分別表示GH，AH的長，用未知數(shù)分別表示tan∠ABE與cot∠CAG，根據(jù)等式可求得求知數(shù)的值，即求得正方形EFCG的邊長．
解答：（1）證明：∵正方形ABCD邊長為6，正方形EFCG邊長為4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=，CG=4，EC=．（2分）
∴AE=AC-EC=．
∴．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：設正方形EFCG的邊長為x，則BF=6-x，
連接FG交AC于點H，
可得GH⊥AC，，，
tan∠CAG===，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE==．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴=，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴當正方形EFCG的邊長為3時，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）
點評：此題主要考查學生對正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法的綜合運用．