Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三點(diǎn)。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線l ，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（注意：本題中的結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：， 由題意得：， 解得：， ∴拋物線的解析式為：；

（2）存在， 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是， 作拋物線和⊙M（如圖）， 設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C 連接MC， 過(guò)C作CD⊥x 軸于D， ∵M(jìn)C=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC， ∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4， ∴B（-2，0） 在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°， ∴DM=1，CD= ∴ C（1，） 設(shè)切線l的解析式為：， 點(diǎn)B、C在l上，可得： 解得： ∴切線BC的解析式為： ∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn) 由解得：， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：， ∵ 拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2， 此拋物線、⊙M都與直線x=2成軸對(duì)稱圖形， 于是作切線l關(guān)于直線x=2的對(duì)稱直線l′（如圖）得到B、C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B1、C1， l′滿足題中要求，由對(duì)稱性，得到P1、P2關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)：，即為所求的點(diǎn)， ∴這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)：，，，。