Question

在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，回答下列問(wèn)題：
（1）運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第幾秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm²？
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，五邊形APQCD的面積為Scm²，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；寫(xiě)出t為何值時(shí)，s的值最�。�
（3）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，試判斷△DPQ的形狀．
（4）計(jì)算四邊形DPBQ的面積，并探索一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出運(yùn)動(dòng)所求的時(shí)間，可將BP和BQ的長(zhǎng)表示出來(lái)，代入三角形面積公式，列出等式，可將時(shí)間求出；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，首先表示出△PBQ的面積，再利用S_{五邊形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ，求出t的值以及五邊形最值即可即可；
（3）表示出DP ²=146.25，PQ ²=29.25，DQ ²=117，進(jìn)而得到PQ ²+DQ ²=DP ²，得出答案；
（4）根據(jù)表示出四邊形面積，求出即可．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，△PBQ的面積等于8cm²則：
BP=6-t，BQ=2t，
所以S_△PBQ=

1

2

×（6-t）×2t=8，即t²-6t+8=0，
可得：t=2或4，即經(jīng)過(guò)2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm²．

（2）根據(jù)（1）中所求出的S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

×（6-t）×2t，
整理得S_△PBQ=-t²+6t（0＜t＜6）．
則S_{五邊形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ=72-（-t²+6t）=t²-6t+72=（t-3） ²+63（0＜t＜6），
當(dāng)t=-

b

2a

=3時(shí)，S_{五邊形APQCD}=63，
故當(dāng)t=3秒，五邊形APQCD的面積最小，最小值是63cm²，

（3）當(dāng)t=1.5s時(shí)，
RP=1.5，BP=4.5，CQ=9，
∴DP ²=146.25，PQ ²=29.25，DQ ²=117，
∴PQ ²+DQ ²=DP ²，
∴△DPQ為Rt△；

（4）S_DPBQ=6×12-

1

2

t×12-

1

2

×6（12-2t），
=72-36，
=36，
∴四邊形DPBQ的面積是固定值36．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，是典型的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到矩形及三角形的面積公式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單．