Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CO⊥AB于點(diǎn)O，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為D．連接BD，交OC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CDE=∠CED；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為D．

∴∠ODC=90°，

∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，

∵OC⊥AB，

∴∠CED=∠OEB=90°﹣∠B，

∵∠CDE=90°﹣∠ODB，

∴∠CDE=∠CED；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=13，

∴OB= ，

∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，

∴△ABD∽△EBO，

∴ ．

∴ ，

∴EB= ，

∴DE=BD﹣EB= ．

【解析】（1）連接OD，利用切線的性質(zhì)和圓的半徑相等得到的等腰三角形即可證明∠CDE=∠CED；（2）連接AD，利用圓周角定理和已知條件證明△ABD∽△EBO，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出EB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．