Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b（k為常數(shù)且k≠0）分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O半徑為

5

個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）如圖甲，若點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，點(diǎn)P為直線y=kx+b上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，當(dāng)PC⊥PD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若k=-

1

2

，直線y=kx+b將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，求b的值．（圖乙供選用）

Answer 1

分析：（1）①由題意可得B的坐標(biāo)，又由OA=OB可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把坐標(biāo)代入解析式消去b，可求得k的值；
②要求p點(diǎn)的坐標(biāo)，可先設(shè)出坐標(biāo)，找關(guān)系列出方程可求解，要列方程必須先求出OP的大小，于是借助等腰直角三角形進(jìn)行解答，答案可得．
（2）此題分兩種情形，當(dāng)直線y=kx+b將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，可得所對(duì)圓心角為120°，得出弦心距OC的值，直線y=kx+b中k=-

1

2

，得出

OC

AC

=

1

2

，再根據(jù)AC、AO的值，求出直線與與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線與y軸交于點(diǎn)（

5

4

，0）得出b的值，當(dāng)直線與x軸、y軸的負(fù)半軸相交，同理可求b的值．

解答：解：（1）①根據(jù)題意得：B的坐標(biāo)為（0，b），
∴OA=OB=b，
∴A的坐標(biāo)為（b，0），
代入y=kx+b得：k=-1．
②過(guò)P作x軸的垂線，垂足為F，連接OD、OP，
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=

5

，OP=

10

∵點(diǎn)P為直線y=kx+b上的動(dòng)點(diǎn)，
∴P在直線y=-x+4上，
設(shè)P（m，-m+4），則OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，Rt△POF中根據(jù)勾股定理得：OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（

10

）²，
解得m=1或3，
∴P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）


（2）分兩種情形，y=-

1

2

x+

5

4

，或y=-

1

2

x-

5

4

．
直線y=kx+b將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，
可知其所對(duì)圓心角為120°，
如圖，畫(huà)出弦心距OC，可得弦心距OC=

5

2

，
又∵直線y=kx+b中k=-

1

2

∴直線與x軸交得的銳角的正切值為

1

2

，即

OC

AC

=

1

2

，
∴AC=

5

，∴AO=

5

2

，即直線與與x軸交于點(diǎn)（

5

2

，0）．
∴直線與y軸交于點(diǎn)（0，

5

4

），
∴b=

5

4

．
當(dāng)直線與x軸、y軸的負(fù)半軸相交，同理可求：b=-

5

4

．
綜合以上得：b=

5

4

或-

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；有函數(shù)參與的幾何題往往要找出等量關(guān)系后利用函數(shù)的解析式列方程進(jìn)行解答，這種數(shù)形結(jié)合的思想非常重要，要認(rèn)真掌握．