Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，切線DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
求證：（1）△ABC是等邊三角形；
（2）AE=

1

3

CE．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，從而得到平行線，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，則∠A=∠B，得到AC=BC，從而證明該三角形是等邊三角形；
（2）再根據(jù)在圓內(nèi)直徑所對(duì)的角是直角這一性質(zhì)，推出30°的直角三角形，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可證明．

解答：證明：（1）連接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）如上圖，連接CD，則CD⊥AB；
∴D是AB中點(diǎn)；
∵AE=

1

2

AD=

1

4

AB，
∴EC=3AE；
∴AE=

1

3

CE．

點(diǎn)評(píng)：本題中作好輔助線是解題的關(guān)鍵，連接過切點(diǎn)的半徑是圓中常見的輔助線作法之一．另外還要掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30°的直角三角形的性質(zhì)．