Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4

3

，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接OD，OB，DE．
（1）求證：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

Answer 1

分析：（1）連接CD；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合角之間的互余運(yùn)算，易得∠EDO=90°，即可證出OD⊥DE；
（2）過O作OF⊥AD；構(gòu)造直角三角形BOC；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易得BO與OF的值，在三角函數(shù)公式中代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：（1）證明：連接CD，∵AC是直徑，∴∠ADC=∠BDC=90°，（2分）
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=BE=EC．（3分）
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．（4分）
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，（5分）
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE．（6分）

（2）解：過O作OF⊥AD；（7分）
∵在Rt△ABC中，tanA=

BC

AC

=

3

，
∴∠A=60°，∴△AOD是邊長為2的等邊三角形，
∴OF=

3

．（8分）
在Rt△BOC中，BO=

4+48

=2

13

，（9分）
∴sin∠ABO=

OF

OB

=

3

2 13

=

39

26

．（10分）

點(diǎn)評：本題考查常見的幾何題型，包括直線垂直的判定，三角函數(shù)的求值，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．