Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，連接AE，將矩形沿AE翻折，使點(diǎn)B落在CD邊F處，連接AF，在AF上取點(diǎn)O，以O為圓心，OF長(zhǎng)為半徑作⊙O與AD相切于點(diǎn)P．若AB＝6，BC＝3，則下列結(jié)論：①F是CD的中點(diǎn)；②⊙O的半徑是2；③AE＝CE；④S陰影＝．其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①易求得DF長(zhǎng)度，即可判定；

②連接OP，易證OP∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)即可判定；

③易證AE=2EF，EF=2EC即可判定；

④連接OG，作OH⊥FG，易證△OFG為等邊△，即可求得S陰影即可解題.

①∵AF是AB翻折而來(lái)，

∴AF=AB=6，

∵四邊形ABCD是矩形，

AD=BC=3，

∴DF===3，

∴F是CD中點(diǎn)；

∴①正確；

②連接OP，

∵⊙O與AD相切于點(diǎn)P，

∴OP⊥AD，

∵AD⊥DC，

∴OP∥CD，

∴，

設(shè)OP=OF=x，則，

解得：x=2，

∴②正確；

③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，

∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，

∴∠EAF=∠EAB=30°，

∴AE=2EF；

∵∠AFE=90°，

∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，

∴EF=2EC，

∴AE=4CE，

∴③錯(cuò)誤；

④連接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，

∴△OFG為等邊三角形；同理△OPG為等邊三角形；

∴∠POG=∠FOG=60°，OH=，S扇形OPG=S扇形OGF，

∴S陰影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+（S扇形OGF-S△OFG）=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=．

∴④正確；

其中正確的結(jié)論有：①②④，3個(gè)；

故選：C．