Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、C（0，2）．
（1）試求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷點B（-2，0）是否在該函數(shù)的圖象上；
（2）設(shè)所求函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點D，點E在x軸上，若以點C、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，試求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點A（4，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式，再將B（-2，0）坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可知道它是否在該函數(shù)的圖象上；
（2）先求出D 點坐標(biāo)，再根據(jù)題中已知條件便可求出點E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）點A（4，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+c；
可得

- 1 4 ×16+4b+c=0 c=2

，
解得

b= 1 2 c=2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

x2+

1

2

x+2；
將B（-2，0）坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-

1

4

x2+

1

2

x+2可得-

1

4

×4+

1

2

×（-2）+2=0，
點B（-2，0）在該函數(shù)的圖象上；

（2）拋物線y=-

1

4

x2+

1

2

x+2的對稱軸為x=-

b

2a

=1，
∴D點坐標(biāo)為D（1，0），CD=

5

，
∵點E在x軸上，
設(shè)E點坐標(biāo)為E（x，0），
由題意可知AB=4+2=6，AC=2

5

，BC=2

2

，
①當(dāng)△ABC∽△CDE時，∴

AB

CD

=

BC

DE

即

6

5

=

2 2

DE

，
解得DE=

10

3

，
∵D點坐標(biāo)為（1，0），
∴E點坐標(biāo)為（-

10

3

+1，0）．
②當(dāng)△ABC∽△CED時，

AB

CE

=

BC

ED

，即

6

CE

=

2 2

DE

，∴

6

x2+4

=

2 2

|1-x|

，
解得，x=

9± 74

7

，
∴點E的坐標(biāo)為（

9+ 74

7

，0），（

9- 74

7

，0）；
③當(dāng)△ABC∽△DEC時，

AB

DE

=

BC

EC

，即

6

|1-x|

=

2 2

x2+4

，
解得，x=

-2± 277

7

，∴點E的坐標(biāo)為（

-2+ 277

7

，0），（

-2- 277

7

，0）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．