Question

已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點，EF=7，連接AF。如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ。當(dāng)點N到達終點B時，△GMNP和點同時停止運動。設(shè)運動時間為t秒，解答問題：

（1）在整個運動過程中，當(dāng)點G在線段AE上時，求t的值；

（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）在整個運動過程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，，

∴由勾股定理，得NM=10。

當(dāng)點G在線段AE上時，如圖，

此時，GG′=MN=10。

∵△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，

∴t=10秒。

（2）存在。

由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。

①當(dāng)0＜t≤10時，線段GN與線段AE相交，如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，QI⊥AB于點I，過點P作PJ⊥IJ于點J。

根據(jù)題意，知AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，∴。

由△QHE∽△NGM得，即，

∴。

∴。

若AP=AQ，則，解得，不存在；

若AP=PQ，則，△＜0，無解，不存在；

若AQ=PQ，則，無正數(shù)解，不存在。

②當(dāng)10＜t≤16時，線段GN的延長線與線段AE相交，如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，QI⊥AB于點I，過點P作PJ⊥IJ于點J。

同上，AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，∴。

由△QHE∽△NGM得，即，

∴。

∴。

若AP=AQ，則，解得。

若AP=PQ，則，△＜0，無解，不存在；

若AQ=PQ，則，無正數(shù)解，不存在。

綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形。

（3）S與t的函數(shù)關(guān)系式為。

【解析】（1）由勾股定理，求出MN的長，點Q運動到AE上時的距離MN的長，離從而除以速度即得t的值。

（2）分0＜t≤10和10＜t≤16兩種情況討論，每種情況分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三種情況討論。

（3）當(dāng)0＜t≤7時，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積，

由（2）①，EN=t，，∴。

當(dāng)7＜t≤10時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積，它等于△NQE的面積減去△NIF的面積。

由（2）①，EN=t，，∴。

過點I 作IJ⊥BC于點J，

∵EF=7，EN=t，∴。

由△FJI∽△FBA得，即。

由△INJ∽△MNG得，即。

二式相加，得。∴

∴。

當(dāng)10＜t≤時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積。

過點I 作IH⊥BC于點H，

∵EF=7，EN=t，∴。

由△FHG∽△FBA得，即。

由△INH∽△MNG得，即。

二式相加，得。∴。

∴。

當(dāng)＜t≤16時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△IFM的面積。

∵，

  （同上可得），

∴。

綜上所述，。