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        1. (2012•臨沂)已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動.
          (1)如圖1,當b=2a,點M運動到邊AD的中點時,請證明∠BMC=90°;
          (2)如圖2,當b>2a時,點M在運動的過程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,請給與證明;若不存在,請說明理由;
          (3)如圖3,當b<2a時,(2)中的結論是否仍然成立?請說明理由.
          分析:(1)由b=2a,點M是AD的中點,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四邊形ABCD是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,則可求得∠BMC=90°;
          (2)由∠BMC=90°,易證得△ABM∽△DMC,設AM=x,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,即可得方程:x2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可確定方程有兩個不相等的實數(shù)根,且兩根均大于零,符合題意;
          (3)由(2),當b<2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情況,即可求得答案.
          解答:(1)證明:∵b=2a,點M是AD的中點,
          ∴AB=AM=MD=DC=a,
          又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
          ∴∠AMB=∠DMC=45°,
          ∴∠BMC=90°.

          (2)解:存在,
          理由:若∠BMC=90°,
          則∠AMB+∠DMC=90°,
          又∵∠AMB+∠ABM=90°,
          ∴∠ABM=∠DMC,
          又∵∠A=∠D=90°,
          ∴△ABM∽△DMC,
          AM
          CD
          =
          AB
          DM

          設AM=x,則
          x
          a
          =
          a
          b-x

          整理得:x2-bx+a2=0,
          ∵b>2a,a>0,b>0,
          ∴△=b2-4a2>0,
          ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,且兩根均大于零,符合題意,
          ∴當b>2a時,存在∠BMC=90°,

          (3)解:不成立.
          理由:若∠BMC=90°,
          由(2)可知x2-bx+a2=0,
          ∵b<2a,a>0,b>0,
          ∴△=b2-4a2<0,
          ∴方程沒有實數(shù)根,
          ∴當b<2a時,不存在∠BMC=90°,即(2)中的結論不成立.
          點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及一元二次方程的性質.此題難度較大,解此題的關鍵是利用相似的性質構造方程,然后利用判別式求解.
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