Question

實(shí)數(shù)a取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程a（x²+1）=x（a²+1），
（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)根？并求出它的根；
（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？并求出它的根；
（3）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？并求出它的根．

Answer 1

分析：（1）先把方程化為一般式ax²-（a²+1）x+a=0，當(dāng)a=0時(shí)，原方程為一元一次方程，解得x=0；
（2）當(dāng)a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=（a²-1）²≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用求根公式求解；
（3）當(dāng)a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=0，解得a=±1，然后把a(bǔ)=1和-1代入原方程分別得到兩個(gè)一元二次方程，然后利用因式分解法求解．

解答：解：（1）ax²-（a²+1）x+a=0，
當(dāng)a=0時(shí)原方程化為-x=0，解得x=0；
（2）當(dāng)a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=（a²-1）²≥0，
x=

a2+1±(a2-1)

2a

解得x₁=a，x₂=

1

a

；
（3）當(dāng)a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=0，
（a²-1）²=0，解得a=±1，
當(dāng)a=1時(shí)，x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1；
當(dāng)a=-1時(shí)，-x²-2x-1=0，解得x₁=x₂=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．