Question

如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展”而來，邊數(shù)記為a₃，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數(shù)記為a₄，…，依此類推，由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)記為a_n（n≥3）．求

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

a2010

=

 

．

Answer 1

分析：觀察可得邊數(shù)與擴展的正n邊形的關(guān)系為n×（n+1），根據(jù)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求解即可．

解答：解：n=3時，邊數(shù)為3×4=12；
n=4時，邊數(shù)為4×5=20；
…
n=8時，邊數(shù)為8×9=72；
當n=2010時，原式=

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

2010×2011

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2009

-

1

2010

+

1

2010

-

1

2011

=

2008

6033

．
故答案為：

2008

6033

．

點評：考查圖形的規(guī)律性及規(guī)律性的應(yīng)用；得到邊數(shù)與擴展的正n邊形的關(guān)系是解決本題的突破點；根據(jù)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求解是解決本題的難點．