Question

在Rt△ABC中，斜邊AB=5，而直角邊BC，AC之長是一元二次方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的兩根，則m的值是（　�。�

• A、4
• B、-1
• C、4或-1
• D、-4或1

Answer 1

分析：先利用勾股定理表示出方程兩根之間的數(shù)量關(guān)系，即兩根的平方和是25，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把有關(guān)字母的系數(shù)代入其中得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：解：如圖．設(shè)BC=a，AC=b．
根據(jù)題意得a+b=2m-1，ab=4（m-1）．
由勾股定理可知a²+b²=25，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（2m-1）²-8（m-1）=4m²-12m+9=25，
∴4m²-12m-16=0，
即m²-3m-4=0，
解之得m₁=-1，m₂=4．
∵a+b=2m-1＞0，
即m＞

1

2

，
∴m=4．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關(guān)系，難度中等．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系為：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．本題要注意的是三角形的邊長都是正數(shù)，所以最后要把解得的根代入到實(shí)際問題的條件中檢驗(yàn)，將不合題意的解舍去．