Question

如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如圖②）．
（1）探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（2）當(dāng)DB′∥AE時，求此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（3）如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè) AC′與DE所在直線交于點P，當(dāng)△ADP成為等腰三角形時，求此時的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SAS推出△B′AD≌△C′AE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠B′DA=∠DAE=90°，求出AD=

1

2

AB′，求出∠AB′D=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
（3）分為三種情況，AP=AD，AP=DP，DP=AD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．

解答：（1）DB′=EC′，
證明：如圖②，
∵AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，

AB′=AC′ ∠B′AD=∠C′AE AD=AE

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．

（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′為直角三角形，
又∵AE=

1

2

AC=

1

2

AC′，
∴∠EC′A=30°
∴α=90°-30°=60°．

（3）解：分為三種情況：
①當(dāng)AP=DP時，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ACP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②當(dāng)AD=AP時，此時P和E重合，即α=0°；
③當(dāng)AD=DP時，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=

1

2

（180°-∠ADP）=

1

2

×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．